નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

(0) ધારો કે $I = \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ ..... $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુણધર્મ: $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય,અને $0$ જો $f(2a-x) = -f(x)$ હોય.
અહીં,$f(x) = \cos^5 x$.
$f(2\pi - x) = \cos^5(2\pi - x) = (\cos(2\pi - x))^5 = (\cos x)^5 = \cos^5 x = f(x)$ તપાસતા.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx$.
હવે,$\int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx$ માટે,આપણે ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ જો $f(a-x) = -f(x)$ હોય.
અહીં,$f(\pi - x) = \cos^5(\pi - x) = (\cos(\pi - x))^5 = (-\cos x)^5 = -\cos^5 x = -f(x)$.
આમ,$\int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx = 0$.
તેથી,$I = 2 \times 0 = 0$.